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Sulle orme del caos
Comportamenti complessi in modelli matematici semplici
Gian Italo Bischi, Rosa Carini,
Laura Gardini, Paolo Tenti
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<- indice dei materiali
I programmi per sperimentare
Invitiamo il lettore a sperimentare direttamente
quanto sta leggendo o osservando nelle figure del libro.
La sperimentazione è possibile usando i programmi scaricabili da questa pagina e
attivandoli nel proprio PC (per Windows'98 e
successivi).
Con ciascuno dei programmi seguenti, potete studiare i
comportamenti dinamici delle rispettive mappe al variare del parametro a
e al variare del punto iniziale. Potete studiare il ruolo dei punti fissi,
il loro bacini, le biforcazioni ecc...
I valori riportati in rosso nelle tabelle che seguono sono i
valori predefiniti nei vari programmi.
ATTENZIONE: per una corretto utilizzo dei
programmi, è necessario impostare una risoluzione 1024x768 sul
proprio computer.
MAPPE A UNA VARIABILE
Guida ai programmi
Programma logistica.exe
Il programma è relativo alla classica mappa logistica f(x)=a
x(1-x), la più studiata nel libro e in particolare esaminata nei
capitoli 3, 4, 5 e 8.
E' preimpostato con i seguenti intervalli: [xmin,xmax]=[0,1]; [ymin,ymax]=[0,1].
Con questo strumento potete riprodurre le diverse figure
proposte nel libro usando i valori dei parametri riportati nella tabella che
segue e scegliendo opportuni punti iniziali; l'evoluzione degli iterati è
visibile contemporaneamente sia nel diagramma a scala che diagramma rispetto al
tempo mentre la costruzione dei vari diagrammi di biforcazione riportati nei
capitoli 5 e 8 si attiva con il comando "diagramma biforcazione" del menu
"file".
| Figura |
a |
fk |
| 3.13 |
2.5 |
0 |
| 3.14 |
3 |
0 |
| 3.15 |
3.1 |
0 |
| 3.16 |
2.5 |
2 |
| 3.17 |
3 |
2 |
| 3.18 |
3.1 |
2 |
| 4.1 |
0.75 |
0 |
| 4.2 |
1 |
0 |
| 4.3 |
1.5 |
0 |
| 4.4 |
2 |
0 |
| 4.5 |
2.5 |
0 |
| 4.6 |
3 |
2 |
| 4.7 |
3.1 |
2 |
| 4.8 |
3.2 |
2 |
| 4.9 |
3.3 |
2 |
| 4.10 |
3.4 |
2 |
| ... |
... |
... |
| 5.6 |
3.678574 |
0 |
| ... |
... |
... |
Programma arcotangente.exe
Mappa monotona crescente f(x)=a
arctan(x-1) di cui si parla nel paragrafo 6.3.
Intervalli preimpostati: [xmin,xmax]=[-5,5]; [ymin,ymax]=[-5,5].
Con questo strumento potete riprodurre le figure 6.4 e 6.5 del
libro usando i valori del parametro a riportati nella tabella seguente:
| Figura |
a |
| 6.4 |
0.5 - 1 - 2 - 3 |
| 6.5a |
2 |
| 6.5b |
2.51 |
| 6.5c |
3 |
Programma cubica6.exe
Mappa monotona decrescente f(x)
= 1 - a x3 di cui si parla nel paragrafo 6.4.
intervalli preimpostati: [xmin,xmax]=[-2,2]; [ymin,ymax]=[-2,2].
Con questo strumento potete riprodurre le figure 6.4 e 6.5 del
libro usando i valori del parametro a riportati nella tabella seguente:
| Figura |
a |
fk |
| 6.6a |
0.2 |
0 |
| 6.6b |
0.5 |
2 |
| 6.6c |
0.592592 |
2 |
| 6.6d |
0.7 |
2 |
| 6.6e |
0.9 |
2 |
| 6.6f |
1 |
2 |
| 6.6g |
1.184 |
2 |
| 6.6h |
1.4 |
2 |
| 6.7 |
1.186 |
0 |
Programma cubica9.exe
Mappa bimodale polinomiale f(x)
= a (5-x)(x-1)2 di cui si parla nel paragrafo
9.2.
Intervalli preimpostati: [xmin,xmax]=[-2,2]; [ymin,ymax]=[-2,2].
Con questo strumento potete riprodurre le figure 9.1...9.8 del
libro usando i valori del parametro a riportati nella tabella seguente:
| Figura |
a |
fk |
| 9.1 |
0.2 - 0.3 - 0.4 - 0.5 |
0 |
| 9.3 |
0.12 |
0 |
| 9.4 |
0.12 |
2 |
| 9.5 |
0.2 |
0 |
| 9.6a |
0.3 |
0 |
| 9.6b |
0.45 |
0 |
| 9.7a |
0.45 |
0 |
| 9.7b |
0.48 |
0 |
| 9.7c |
0.49 |
0 |
| ... |
... |
... |
Programma seno.exe
Mappa bimodale trascendente f(x)
= a (1 - sen x) di cui si parla nel paragrafo 9.3.
Intervalli preimpostati: [xmin,xmax]=[0 , 6.28]; [ymin,ymax]=[0 ,
6.28].
Con questo strumento potete riprodurre le figure 9.10...9.16 del
libro usando i valori del parametro a riportati nella tabella seguente:
| Figura |
a |
| 9.10 |
1 - 2 - 2.2 - 2.5 |
| 9.11 |
1 |
| 9.12 |
1.8 |
| 9.13 |
2.356 |
| 9.14 |
2.6 |
| 9.15 |
3 |
| 9.16 |
3.141592 |
Sperimentate la costruzione dei diagrammi di biforcazione.
Programma iperbole10_1.exe
Mappa razionale fratta f(x)
= (x2-a)/(2x) di cui si parla nel paragrafo
10.1.
Intervalli preimpostati con i seguenti: [xmin,xmax]=[-6, 6]; [ymin,ymax]=[-6 ,
6].
Con questo strumento potete riprodurre la figura 10.1 del
libro usando i valori preimpostati o effettuare altri esperimenti variando uno o
più parametri.
Programma iperbole10_2.exe
Mappa razionale fratta f(x)
= (a - x2)/(2x) di cui si parla nel paragrafo 10.2.
Intervalli preimpostati: [xmin,xmax]=[-4, 4]; [ymin,ymax]=[-4 ,
4].
Con questo strumento potete riprodurre la figura 10.2 del
libro usando i valori preimpostati o effettuare altri esperimenti variando uno o
più parametri.
Programma iperbole10_3.exe
Mappa razionale fratta f(x)
= x + b/x2 - 2 di cui si parla nel paragrafo 10.3.
Intervalli preimpostati: [xmin,xmax]=[-4, 10]; [ymin,ymax]=[-4 ,10].
Con questo strumento potete riprodurre le figura 10.3...10.6 del
libro usando i valori del parametro b riportati nella tabella che segue,
inoltre potete verificare la biforcazione per b=32/27, poi il diminuire
dell'intervallo assorbente al crescere di b, fino all'equilibrio stabile per
b>8. Nel libro trovate la descrizione completa delle
principali biforcazioni che qui si possono osservare. Inoltre potete generare la
sintesi delle biforcazioni nel relativo diagramma (file>diagramma biforcazione).
| Figura |
b |
| 10.3 |
2 |
| 10.4 |
4 |
| 10.5 |
1 |
| 10.6 |
0.2 |
Programma mappa10_4.exe
Mappa razionale fratta f(x)
= a (1+x)/(1+x2 ) di cui si parla nel paragrafo 10.4.
Intervalli preimpostati: [xmin,xmax]=[-11, 11]; [ymin,ymax]=[-11 ,11].
Con questo strumento potete riprodurre le figura 10.7...10.9 del
libro usando i valori del parametro a riportati nella tabella che segue.
| Figura |
a |
| 10.7 |
1 |
| 10.8 |
9 |
| 10.9 |
20 |
MAPPE A DUE VARIABILI
Guida ai programmi
Programma bidimbase.exe
Il programma è relativo alla mappa bidimensionale x'=ax; y'=by, la prima mappa bidimensionale proposta nel libro nel paragrafo
11.1.
E' preimpostato con i seguenti intervalli: [xmin,xmax]=[-10,10]; [ymin,ymax]=[-10,10].
Con questo strumento potete riprodurre le diverse evoluzioni dei
punti nel piano
proposte nel libro usando i valori dei parametri riportati nella tabella che
segue e scegliendo opportuni punti iniziali; l'evoluzione degli iterati è
visibile contemporaneamente sia nel piano xy che nei due diagrammi rispetto al
tempo.
| Figura |
a |
b |
| 11.2 |
0.7 |
0.3 |
| 11.3 |
0.7 |
-0.5 |
| 11.4 |
1.5 |
1.3 |
| 11.5 |
1.5 |
-1.3 |
| 11.6 |
0.5 |
1.2 |
| 11.7 |
-0.6 |
1.3 |
| 11.8 |
-0.5 |
-1.2 |
Programma bidimaffine.exe
Generica mappa bidimensionale affine x' = a11 x
+ a12 y + b1; y' = a21
y + a22 y + b2.
Intervalli preimpostati: [xmin,xmax]=[-10,10]; [ymin,ymax]=[-10,10].
Con questo strumento potete riprodurre la figura 11.9 del libro usando i valori dei parametri riportati nella tabella che
segue e scegliendo come punto iniziale (x,y)=(4,9). Inoltre potete
sperimentare l'influenza dei diversi parametri nell'evoluzione del sistema.
| Figura |
a11 |
a12 |
b1 |
a21 |
a22 |
b2 |
| 11.10 |
0.5 |
-0.5 |
0 |
1 |
0.6 |
0 |
| ... |
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Programma Henon.exe
Il programma è relativo ad un esempio di mappa bidimensionale che,
pur essendo non lineare è invertibile, la mappa di Henon; le sue equazioni sono:
x'=y+1-ax2; y'=bx.
Intervalli preimpostati: [xmin,xmax]=[-1.5, 1.5]; [ymin,ymax]=[-0.4, 0.4].
Con questo programma, usando i parametri preimpostati, potete subito costruire le figure 12.1 e 12.2. Inoltre potete
sperimentare l'influenza dei diversi parametri nell'evoluzione del sistema.
| Figura |
a |
b |
| 12.1, 12.2 |
1.4 |
0.3 |
Programma Mira.exe
Il programma è relativo all'ultimo esempio di mappa fornito nel
libro: la mappa bidimensionale non lineare e non invertibile studiata da Christian Mira di Tolosa.
Le sue equazioni sono:
x'=a x + y; y'=b + x2.
Il programma, preimpostato in modo da ottenere la figura usata nella copertina
del libro, permette di ricostruire le ultime figure del libro dalla 13.8 alla
13.11
complete del bacino di attrazione dell'infinito.
Seguono i parametri per ottenere le diverse figure.
| Figura |
a |
b |
xmin |
xmax |
ymin |
ymax |
| 13.8 |
-0.1 |
-1.7 |
-2 |
2 |
-2.2 |
2 |
| 13.9 |
-0.3 |
-1.4 |
-1.6 |
1 |
-1.6 |
0.7 |
| 13.11 (sn) |
-1.2 |
-1.475 |
-2.1 |
1.6 |
-2.8 |
2.8 |
| 13.11 (dx) |
-0.3 |
-1.5 |
-2 |
2 |
-2.5 |
2.6 |
| corno da caccia* |
1 |
-0.59 |
-1.8 |
1.2 |
-1 |
1.6 |
| telo ripiegato* |
-0.42 |
-1.6 |
-1.8 |
1.2 |
-2 |
1 |
| ciclo limite* |
-1.5 |
-1.6 |
-1 |
0 |
-2 |
0 |
* Si invita il lettore a scoprire le forme di questi
attrattori non visualizzati nel libro.
Si precisa che i programmi sono stati costruiti
per fini didattici, non vengono effettuati dei controlli sui dati in input e non
vengono gestite le situazioni di errore, possono quindi verificarsi dei
malfunzionamenti.
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